Преобразование выражений содержащих квадратные корни правила. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения

Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений: примеры, решения

Преобразование выражений содержащих квадратные корни правила. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения

В данной статье мы рассмотрим часть материала на тему преобразования иррациональных выражений, подробно разобрав тонкости и нюансы преобразований, которые выполняются  на основе свойств корней.

Свойства корней

Вспомним основные свойства корней. Это поможет нам последовательно разбирать тему, не возвращаясь к предыдущим разделам.

Начнем с квадратных корней. Будем считать, что a, b, a1, a2, …, ak – это действительные числа.

a·b=a·b , где a≥0, b≥0. Оно распространяется на произведение k неотрицательных множителей a1, a2, …, ak  как a1· a2· …·ak=a1·a2·…·ak ;

a:b=a:b  или в другой записи ab=ab , где a≥0, b>0;

a2=a  и его обобщение a2m=am , где a – любое действительное число, а m– натуральное (при этом число 2·m – четное).

Введем определение корня n-ой степени. Тут уже a, b, a1, a2, …, ak – действительные числа, m, n, n1, n2, …, nk – натуральные числа.

a·bn=an·bn , где a≥0, b≥0, его обобщение a1· a2· …·akn=a1n·a2n·…·akn , где a1≥0, a2≥0, …, ak≥0.

abn=anbn , где a≥0, b>0.

a2·m2·m=a, a2m-12m-1=a, где a – любое действительное число.

amn=an·m, …ankn2n1=an1·n2·…·nk , где a≥0.

amn·m=an , где a≥0.

amn=anm , где a≥0.

Преобразование выражений с числами под знаками корней

Обычно начинают изучение алгоритмов работы с числовыми выражениями. И уже только после этого переходят к работе с выражениями, содержащими переменные. Также построим наш материал и мы.

При указанных ограничениях на числа a, bи проч. все перечисленные свойства корней представляют собой верные числовые равенства. Это значит, что если числа a, b и т.д. соответствуют перечисленным условиям, то значение выражения, которое записано в левой части равенства, равно значению выражения, размещенного в правой части.

Рассмотрим приведенный выше тезис на примере.

Пример 1

Выражение 4·9 , в котором числа 4 и 9 –  положительные, можно заменить произведением корней 4·9 согласно свойству корня, по которому произведение корня можно заменить произведением корней.

Проведем несложные расчеты для того, чтобы подтвердить истинность наших выводов:

  4·9=36=62=6  и 4·9=22·32=2·3=6.

Мы можем заменить иррациональное выражение 1+4·9 выражением 1+4·9 и наоборот.

Это значит, что при наличии в составе исходного выражения выражения, которое по виду совпадает с выражением из левой или правой частей любого из перечисленных свойств корней, то мы можем заменить его соответствующим выражением из левой или правой части. В этом и заключается смысл преобразования выражений с использованием свойств корней.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Предположим, что нам нужно упростить выражение 3·5·7-3·5·7 .

Решение

Здесь числа 3, 5 и 7 положительные, что позволяет нам применять свойства корней без ограничений. Правильными будет несколько вариантов решений.

Корень 5·7  на базе свойства a·b=a·b  можно представить как 5·7 , а корень 3·5·7  с использованием свойства a1· a2· …·ak=a1·a2·…·ak  при k=3 – как 3·5·7 . В этом случае решение будет иметь такой вид:
3·5·7-3·5·7==3·5·7-3·5·7=0

Также можно заменить 5·7  на 5·7 , и дальше 3·5·7  на 3·5·7 , в этом случае решение будет выглядеть так:
3·5·7-3·5·7==3·5·7-3·5·7==3·5·7-3·5·7=0

Еще один вариант решения выглядит следующим образом:
3·5·7-3·5·7==3·5·7-3·5·7==3·5·7-3·5·7=0

Ответ: 3·5·7-3·5·7=0

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3

Нам необходимо преобразовать выражение 52+(-2)2-42·2+(-3)2·3 .

Решение

Выберем из всего многообразия свойств корней нужные для решения. Их будет два: a2=a  и a2m=am , которые справедливы для любых значений a.

Решение будет иметь вид:

52+(-2)2-42·2+(-3)2·3==5+-2-42+(-3)3==5+-2-16+-27==5+2-16+27=18

Мы могли бы использовать здесь и свойства степеней для проведения преобразования выражения под знаками корней:
52+(-2)2-42·2+(-3)2·3==52+(-1)2·22-42·2+(-1)2·3·32·3==52+22-42·2+32·3 А уже дальше применять свойства корней:

52+22-42·2+32·3==5+2-42+33=5+2-16+27==5+2-16+27=18

Ответ: 52+(-2)2-42·2+(-3)2·3=18

С преобразованием выражений, которые содержат только квадратные корни, разобрались. Теперь разберемся с корнями, имеющими другие показатели.

Пример 4

Преобразуйте иррациональное выражение (-2)33·813·3646·3612 .

Решение

Для решения используем свойство  a2m-12m-1=a . Заменим первый множитель произведения -233 числом −2:

(-2)33·813·3646·3612==(-2)·813·3646·3612

Используя свойство  …ankn2n1=an1·n2·…·nk второй множитель 813 представим как 8112 . Заменим 81 четвертой степенью тройки, так как это же число фигурирует под знаками корней в остальных множителях:

(-2)·813·3646·3612==(-2)·8112·3646·3612==(-2)·3412·3646·3612

Заменим корень из дроби 3646 на отношение корней вида 36646 . Преобразуем полученное выражение 36646=36266=262 .

(-2)·3412·3646·3612==(-2)·3412·262·3612

Произведем действия с двойками и в результате получим: -3412·36·3612 . Осталось лишь преобразовать произведение корней.

Используем наименьшее общее кратное (НОК) для того, чтобы привести произведения корней к одному показателю. В нашем случае это 12, так как два корня имеют такой показатель, а корень 36 придется привести к этому показателю.

Используем равенство amn·m=an справа налево: 36=326·2=3212 . С учетом полученного результата:

-3412·36·3612==-3412·3212·3612

Заменим произведение корней на корень произведения и продолжим преобразования:

-3412·3212·3612==-34·32·3612=-31212=-3

Запишем краткий вариант решения:

(-2)33·813·3646·3612==(-2)·3412·362·3612==-3412·36·3612==-3412·3212·3612==-34·32·3612=-31212=-3

Ответ:  (-2)33·813·3646·3612=-3

Обращаем ваше внимание на то, что применение свойств корней требует учета ограничений, которые накладываются на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Невнимание к ним может привести к ошибкам в вычислениях. Например, свойство amn·m=an  справедливо для неотрицательных a.

Используя его, мы можем осуществить переход от 83  к  8618, так как 8 – положительное число. Если же взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, к примеру, -83 , то, применив свойство, мы заменим его на -8618. Это будет такой же ошибкой, как если бы мы заменили −2 на 2.

Действительно, -83=-2 , а (-8)618=(-1)6·8618=8618=83=2. Получается, что при отрицательных a равенство amn·m=an может быть неверным.

Другие свойства корней точно также могут стать неверными, если применять их без учета оговоренных условий. Это вовсе не значит, что наличие отрицательного числа под знаком корня полностью исключает возможность проведения преобразований с использованием свойств корней.

Это значит, что необходимо провести ряд предварительных действий с числами или воспользоваться правилом определения корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство -a2·m+1=-a2·m+1 , в котором − a – отрицательное число (при этом a – положительное).

Например, не получится заменить (-2)·-3 на -2·-3 , так как −2 и −3 – это два отрицательных числа. Мы можем провести предварительные действия: использовать правило умножения отрицательных чисел и перейти от корня (-2)·-3 к 2·3 .

Далее мы можем применить свойство корня из произведения: 2·3=2·3

Переходить от корня -83 к корню восемнадцатой степени, который мы проводили в одном из предыдущих примеров, неправильно делать так: -83=(-8)618. Лучше провести вычисления следующим образом: -83=-83=-8618.

Подведем промежуточные итоги:

Определение 1

Преобразование выражений с использованием свойств корней предполагает:

  • выбор подходящего свойства из списка;
  • учет имеющихся у подходящего свойства ограничений, уход от этих ограничений путем проведения промежуточных преобразований;
  • проведение преобразований, требующихся по условию задачи.

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Иррациональные выражения, которые содержат под знаком корня числа и переменные, также можно преобразовывать, используя свойства корней. Однако делать это надо аккуратно, соблюдая все оговоренные условия для того, чтобы не допустить ошибок в вычислениях.

Например, используя формулу a·b=a·b , выражение x·x+1 можно записать как x·x+1 лишь в том случае, если значения x удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0, так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0.

Что будет, если не уделять условиям должного внимания? Продемонстрируем на примере: нам нужно вычислить значение выражения x·(x+1)  при x=−2. Подставив в выражение значение переменной, получим (-2)·-2+1=2.

Это правильная последовательность действий. А теперь представим, что мы поторопились применить свойства корней и привели выражение к виду x·x+1.

Подставив значение переменной, получаем выражение, которое не имеет смысла -2·-2+1 .

Переход от выражения x·(x+1)  к выражению x·x+1 приводит к изменениям области допустимых значений переменной x (ОДЗ). ОДЗ можно использовать как инструмент контроля допустимости проведенных преобразований. Если ОДЗ после проделанных переходов изменилась, то это должно настораживать.

Найти ОДЗ просто. Для выражения x·(x+1) определить ОДЗ можно из неравенства x·(x+1)≥0. Решение неравенства дает нам числовое множество (−∞, −1]∪[0, +∞). Определить ОДЗ для выражения x·(x+1) можно через систему неравенств x≥0,x+1≥0. Получаем [0, +∞). Сравнив полученные ОДЗ мы можем сделать вывод о том, что произошло сужение ОДЗ.

Отсутствие изменения ОДЗ не является гарантом правильности полученного решения. Так, например, мы можем применить свойство amn·m=an для проведения замены x-726 на x-73 . ОДЗ после преобразований остается неизменной, но сама замена не может проводиться при x−7

Интернет урок преобразование выражений содержащих квадратные корни. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения. И глаза начинают светиться

Преобразование выражений содержащих квадратные корни правила. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения

Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.

Навигация по странице.

Вспомним свойства корней

Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.

Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a, b, a 1, a 2, …, a k – действительные числа):

А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a, b, a 1, a 2, …, a k – действительные числа, m, n, n 1, n 2, …, n k – натуральные числа):

Преобразования иррациональных выражений – МБОУ школа №7

Преобразование выражений содержащих квадратные корни правила. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения
Акимова Елена Ибраимовна  31 мая 2017 г.

Что такое иррациональные выражения?

Иррациональные выражения начинают встречаться на этапе знакомства с корнем из числа, что обычно происходит на уроках алгебры в 8 классе. Здесь интуиция подсказывает, что иррациональные выражения как то связаны с корнями, и это действительно так. Следующее определение подтверждает нашу догадку:

Иррациональными выражениями называют выражения, содержащие операцию извлечения корня. Другими словами, иррациональные выражения – это выражения с радикалами (выражения, содержащие в своей записи знаки корня).

Если дан (имеется в выражении) корень следующего вида:

то это означает, что

Просто обычно в примерах двойка не пишется.

*Поэтому такой корень и называют квадратным (корень второй степени).

Если под корнем имеется ещё корень, то можем преобразовать:

И ещё одно очень важное свойство:

Оно легко доказывается. Мы знаем, что:

Как следствие:

То есть, если мы имеем корень какой-то степени и под корнем выражение с такой же степенью, то в результате получится это самое выражение.

Конечно, есть и другие, но они часто используются вами при решении заданий с обычным квадратным корнем:

Основные виды преобразований иррациональных выражений

Сразу заметим, что при преобразовании иррациональных выражений, как и при преобразовании любых других выражений, надо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) и не допускать ее сужения.

С иррациональными выражениями, как и с выражениями других видов, можно проводить любые из основных тождественных преобразований, будь то раскрытие скобок, группировка и приведение подобных слагаемых и т.п.

Это и понятно, так как в основе этих преобразований лежат такие свойства действий с числами, которые являются общими для чисел разных видов.

Также понятно, что при проведении преобразований иррациональных выражений сохраняется принятый порядок выполнения действий. Покажем решения нескольких примеров.

Пример. Преобразуйте иррациональное выражение .

Решение. Для начала заменим корень из 81 его значением 9 (при необходимости смотрите извлечение корней), имеем

Очевидно, в полученном выражении присутствуют подобные слагаемые, поэтому целесообразно выполнить их приведение:

Ответ: .

Пример. Используя формулы сокращенного умножения, представьте иррациональное выражение в виде произведения двух иррациональных выражений.

Решение. Очевидно, иррациональное выражение в скобках представляет собой квадрат разности, то есть, его можно заменить на , поэтому

А теперь девятку можно переписать как 32, после чего воспользоваться формулой разность квадратов:

В результате проделанных тождественных преобразований мы пришли к нужному нам произведению двух иррациональных выражений.

Ответ: .

Существует еще ряд преобразований, относящихся именно к иррациональным выражениям. Рассмотрим основные из них.

Преобразование подкоренного выражения

Одно из важнейших преобразований иррациональных выражений состоит в следующем: выражение под знаком корня можно заменить тождественно равным выражением. Сначала приведем примеры его выполнения, после чего поясним, на чем оно базируется.

Это утверждение дает возможность работать с подкоренными выражениями. Например, оно позволяет сумму под корнем в выражении заменить ее значением, то есть, перейти к корню . Другой пример: иррациональное выражение можно заменить тождественно равным ему выражением .

Почему данное преобразование имеет место? Дело в том, что когда мы давали определение корня из числа a, то мы сказали о его единственности.

То есть, не существует числа a1, отличного от a, для которого справедливо равенство , это равенство возможно лишь при a=a1.

Также мы знаем, что значения тождественно равных выражений A и A1 равны при любых допустимых значениях переменных. Из этих фактов следует разбираемое утверждение.

Использование свойств корней

Для тождественных преобразований иррациональных выражений широко используются свойства корней. Например, используя свойство , гдеa≥0, b≥0, от иррационального выражения можно перейти к тождественно равному выражению . А свойство , где a≥0, позволяет выражение переписать как .

Преобразование иррациональных выражений, содержащих под знаками корней отрицательные числа и выражения с переменными, сопряжено с рядом нюансов. Например, мы не имеем права записать равенство на основании свойства корней, выраженного формулой .

Дело в том, что указанная формула дана для неотрицательного числа a и положительного b, а −7 и −81 – отрицательные числа.

Но если предварительно заменить дробь под знаком корня равной ей дробью 7/81, то дальше можно применять упомянутое свойство корней и переходить к выражению вида .

Подобные тонкости в деталях разобраны в статье преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней.

Свойства корней лежат в основе двух следующих преобразований, называемых внесением под знак корня и вынесением из-под знака корня, к рассмотрению которых мы и переходим.

Внесение множителя под знак корня

Внесение множителя под знак подразумевает замену выражения , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, тождественно равным выражением, имеющим вид или .

Например, иррациональное выражение после внесения множителя 2 под знак корня принимает вид .

Теоретические основы этого преобразования, правила его проведения, а также решения всевозможных характерных примеров даны в статье внесение множителя под знак корня.

Вынесение множителя из-под знака корня

Преобразованием, в известном смысле обратным внесению множителя под знак корня, является вынесение множителя из-под знака корня. Оно состоит в представлении корня в виде произведения при нечетных n или в виде произведения при четных n, где B и C – некоторые числа или выражения.

За примером вернемся в предыдущий пункт: иррациональное выражение после вынесения множителя из-под знака корня принимает вид . Другой пример: вынесение множителя из-под знака корня в выражении дает произведение , которое можно переписать в виде .

На чем базируется это преобразование, и по каким правилам оно проводится, разберем в отдельной статье вынесение множителя из-под знака корня. Там же приведем решения примеров и перечислим способы приведения подкоренного выражения к виду, удобному для вынесения множителя.

Преобразование дробей, содержащих корни

Иррациональные выражения могут содержать дроби, в числителе и знаменателе которых присутствуют корни. С такими дробями можно проводить любые из основных тождественных преобразований дробей.

Во-первых, ничто не мешает работать с выражениями в числителе и знаменателе. В качестве примера рассмотрим дробь . Иррациональное выражение в числителе, очевидно, тождественно равно , а, обратившись к свойствам корней, выражение в знаменателе можно заменить корнем . В результате исходная дробь преобразуется к виду .

Во-вторых, можно изменить знак перед дробью, изменив знак числителя или знаменателя. Например, имеют место такие преобразования иррационального выражения: .

В-третьих, иногда возможно и целесообразно провести сокращение дроби. К примеру, как отказать себе в удовольствии сократить дробь на иррациональное выражение , в результате получаем .

Понятно, что во многих случаях, прежде чем выполнить сокращение дроби, выражения в ее числителе и знаменателе приходится раскладывать на множители, чего в простых случаях позволяют добиться формулы сокращенного умножения. А иногда сократить дробь помогает замена переменной, позволяющая от исходной дроби с иррациональностью перейти к рациональной дроби, работать с которой комфортнее и привычнее.

Для примера возьмем выражение . Введем новые переменные и , в этих переменных исходное выражение имеет вид . Выполнив в числителе разложение многочлена на множители по формуле разность квадратов, получаем возможность сократить дробь на u+v, имеем . Выполнив обратную замену, приходим к выражению , которое тождественно равно исходному иррациональному выражению на ОДЗ.

В-четвертых, дроби с иррациональностью можно приводить к новому знаменателю, умножая ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель. Например, приведем дробь к новому знаменателю x. Для этого ее числитель и знаменатель следует умножить на иррациональное выражение , имеем .

Напомним, что выполнять сокращение дробей или приведение дробей к новому знаменателю необходимо на ОДЗ переменных для исходной дроби.

Умножение числителя и знаменателя дроби на некоторое иррациональное выражение часто используется для проведения преобразования, называемого избавлением от иррациональности в знаменателе. Разберем, как оно проводится.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Избавлением от иррациональности в знаменателе называют преобразование, при котором дробь заменяется тождественно равной дробью, не содержащей в знаменателе знаков корней.

Например, замена дроби дробью есть освобождение от иррациональности в знаменателе.

Возникает вопрос: «Какие действия необходимо предпринять, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби»? Ответ на него содержится в материале статьи освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Переход от корней к степеням

Переход от корней к степеням при преобразовании иррациональных выражений проводится на базе равенства , с помощью которого дается определение степени с рациональным показателем. Им безбоязненно можно пользоваться, когда a– положительное число, m – целое число, а n – натуральное. Например, корень можно заменить степенью с дробным показателем вида .

Если же под корнем находится отрицательное число или выражение с переменными, то формулой надо пользоваться аккуратно. Например, мы не имеем права сразу заменить корни и степенями вида и , так как формула не имеет смысла для отрицательных a. Как поступать в таких случаях разберемся в статье переход от корней к степеням и обратно.

Найдите значение выражения

Второй способ:

Ответ: 9

.

Найдите значение выражения

Ответ: 0,25

.

Найдите значение выражения

Ответ: 4

.

Найдите значение выражения

.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

При х = 3 получится 7+3∙3–4=12

Ответ: 12

Преобразование выражений содержащих квадратные корни правила. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения

Преобразование выражений содержащих квадратные корни правила. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения

урок «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня» – наглядное пособие, с помощью которого учителю легче сформировать умения и навыки в решении задач, содержащих выражения с квадратным корнем.

В ходе урока напоминаются теоретические основы, служащие основанием для проведения операций над числами и переменными, имеющимися в подкоренном выражении, описывается решение множества видов задач, которые могут потребовать умения пользоваться формулами преобразования выражений, содержащих квадратный корень, даются методы избавления от иррациональности в знаменателе дроби.

урок начинается с демонстрации названия темы. Отмечается, что ранее на уроках выполнялись преобразования рациональных выражений. При этом использовались теоретические сведения об одночленах и многочленах, методы работы с многочленами, алгебраическими дробями, а также формулы сокращенного умножения.

В данном видеоуроке рассматривается введение операции по извлечению квадратного корня для преобразования выражений. Ученикам напоминаются свойства операции по извлечению квадратного корня.

Среди таких свойств указано, что после извлечения квадратного корня из квадрата числа получается само число, корень произведения двух чисел равен произведению двух корней от этих чисел, корень частного двух чисел равен частному корней от членов частного.

Последнее рассмотренное свойство – извлечение квадратного корня из числа, возведенного в четную степень √a 2 n , которое в результате образует число в степени a n . Рассмотренные свойства действительны для любых неотрицательных чисел.

Рассматриваются примеры, в которых требуются преобразования выражений, содержащих квадратный корень. Указано, что в данных примерах предусмотрено, что aи b являются неотрицательными числами. В первом примере необходимо упростить выражения √16a 4 /9b 4 и √a 2 b 4 .

В первом случае применяется свойство, определяющее, что корень квадратный произведения двух чисел равен произведению корней из них. В результате преобразования получается выражение ab 2 . Во втором выражении используется формула преобразования квадратного корня частного в частное корней.

Итогом преобразования является выражение 4a 2 /3b 3 .

Во втором примере необходимо вынести из-под знака квадратного корня множитель. Рассматривается решение выражений √81а, √32а 2 , √9а 7 b 5 .

На примере преобразования четырех выражений показывается, как применяется формула преобразования корня произведения нескольких чисел для решения подобных задач.

При этом отдельно отмечаются случаи, когда выражения содержат числовые коэффициенты, параметры в четной, нечетной степени. В результате преобразования получаются выражения √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.

В третьем примере необходимо произвести операцию, противоположную той, что в предыдущей задаче. Для внесения множителя под знак квадратного корня также необходимо уметь пользоваться изученными формулами. Предлагается в выражениях 2√2 и 3a√b/√3a внести множитель перед скобками под знак корня.

Используя известные формулы, множитель, стоящий перед знаком корня, возводится в квадрат и помещается в виде множителя в произведение под знаком корня. В первом выражении в результате преобразования получается выражение √8.

Во втором выражении сначала применяется формула коня произведения для преобразования числителя, а затем формула корня частного – для преобразования всего выражения. После сокращения числителя и знаменателя в подкоренном выражении, получается √3ab.

В примере 4 необходимо выполнить действия в выражениях (√a+√b)(√a-√b). Для решения данного выражения вводятся новые переменные, заменяющие одночлены, содержащие знак корня √a=х и √b=у.

после подстановки новых переменных, очевидна возможность использования формулы сокращенного умножения, после чего выражение получает вид х 2 -у 2 . Возвращаясь к исходным переменным, получаем a-b.

Второе выражение (√a+√b) 2 также можно преобразовать с помощью формулы сокращенного умножения. После раскрытия скобок получаем результат a+2√ab+b.

В примере 5 производится разложение на множители выражений 4a-4√ab+b и х√х+1. Для решения данной задачи необходимо выполнить преобразования, выделить общие множители.

После применения свойств квадратного корня для решения первого выражения сумма преобразуется в квадрат разности (2√а-√b) 2 .

Для решения второго выражения необходимо занести под корень множитель перед знаком корня, а затем применить формулу для суммы кубов. Результатом преобразования становится выражение (√х+1)(х 2 -√х+1).

Пример 6 демонстрирует решение задачи, где нужно упростить выражение (а√а+3√3)(√а-√3)/((√а-√3) 2 +√3а). Решение задания выполняется в четыре действия. В первом действии числитель преобразуется в произведение с помощью формулы сокращенного умножения – суммы кубов двух чисел.

Во втором действии преобразуется знаменатель выражения, который получает вид а-√3а+3. После преобразования становится возможным сокращение дроби. В последнем действии применяется также формула сокращенного умножения, которая помогает получить окончательный результат а-3.

В седьмом примере необходимо избавиться от квадратного корня в знаменателях дробей 1/√2 и 1/(√3-√2). При решении задания используется основное свойство дроби. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, числитель и знаменатель умножаются на одинаковое число, с помощью которого подкоренное выражение возводится в квадрат. В результате вычислений получаем 1/√2=√2/2 и 1/(√3-√2)=√3+√2.

Указываются особенности математического языка при работе с выражениями, содержащими корень. Отмечается, что содержание квадратного корня в знаменателе дроби означает содержание иррациональности. А об избавлении от знака корня в таком знаменателе говорят как об избавлении от иррациональности в знаменателе.

Описываются методы, как можно избавиться от иррациональности – для преобразования знаменателя вида √а необходимо умножить числитель одновременно со знаменателем на число √а, а для устранения иррациональности для знаменателя вида √а-√b, числитель и знаменатель умножаются на сопряженное выражение √а+√b.

Отмечается, что избавление от иррациональности в таком знаменателе очень части облегчает решение задачи.

В конце видеоурока рассматривается упрощение выражения 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Чтобы упростить выражение, применяются рассмотренные выше способы избавления от иррациональности в знаменателе дробей. Полученные выражения складываются, после чего упрощенный вид выражения имеет вид √5-2√3.

урок «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке для формирования навыков решения заданий, в которых содержится квадратных корень. С этой же целью видео может быть использовано учителем в ходе дистанционного обучения. Также материал может быть рекомендован ученикам для самостоятельной работы дома.

Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.

Навигация по странице.

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.