Построить усеченный конус и определить площадь поверхности. Конус

Площадь поверхности усеченного конуса

Построить усеченный конус и определить площадь поверхности. Конус

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии.Основаниями конуса являются геометрические круги.

Усеченный конус может быть получен в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, которая является ее высотой. Границей конуса является круг радиуса R, круг радиуса r и боковая поверхность конуса.

Боковую поверхность конуса описывает боковая сторона трапеции во время ее вращения.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и радиусы его оснований

При нахождении площади боковую поверхность усеченного конуса целесообразней рассматривать как разность боковой поверхности конуса и боковой поверхности отсеченного конуса.

Пусть от данного конуса AMB отсекли конус A`MB`. Необходимо вычислить боковую площадь усеченного конуса AA`B`B. Известно, что радиусы его оснований AO=R, A`O`=r, образующая равна L.

Обозначим MB` за x. Тогда боковая поверхность конуса A`MB` будет равна πrx. А боковая поверхность конуса AMB будет равна πR(L+x).
Тогда боковую поверхность усеченного конуса AA`B`B можно выразить через разность боковой поверхности конуса AMB и конуса A`MB`:

Треугольники OMB и O`MB`– подобны по равенству углов ∠{MOB} = ∠{MO`B`} и ∠{OMB} = ∠{O`MB`}.

Из подобия этих треугольников следует:
Воспользуемся производной пропорции. Имеем:
Отсюда находим x:
Подставив это выражение в формулу площади боковой поверхности, имеем: Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению числа π на его направляющую и сумму радиусов его оснований.

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:

Пример расчета площади боковой поверхности усеченного конуса, если известны его радиус и образующаяРадиус большего основания, образующая и высота усеченного конуса равны 7, 5 и 4 см соответственно. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, с основаниями 2R и 2r.

Образующая усеченного конуса, являющаяся боковой стороной трапеции, высота, опушенная на большое основание и разность радиусов основания усеченного конуса, образуют египетский треугольник. Это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

По условию задачи образующая равна 5, а высота – 4, тогда разность радиусов основания усеченного конуса будет равна 3.

Имеем:L=5R=7R=4Формула площади боковой поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:

Подставив значения, имеем:

Средний радиус усеченного конуса равен половине суммы радиусов его оснований:

Тогда формула площади боковой поверхности усеченного конуса может быть представлена следующим образом:
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на его образующую.

Площади боковой поверхности усеченного конуса через радиусы его основания и угол наклона образующей к плоскости основания

Если меньшее основание ортогонально спроектировать на большее основание, то тогда проекция боковой поверхности усеченного конуса будет иметь вид кольца, площадь которого вычисляется по формуле:

Тогда:

Площади боковой поверхности усеченного конуса по Архимеду

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна площади такого круга, радиус которого является средней пропорциональной между образующей и суммой радиусов его оснований

Полная поверхность усеченного конуса

Полная поверхность конуса – это сумма площади его боковой поверхности и площади оснований конуса:

Основаниями конуса является круги с радиусом R и r.

Их площадь равна произведению числа на квадрат их радиуса:

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

Тогда площадь полной поверхности усеченного конуса равна:

Формула имеет следующий вид:

Пример расчета площади полной поверхности усеченного конуса, если известны его радиус и образующаяРадиус основания усеченного конуса 1 и 7 дм, а диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны. Найдите площадь полную площадь усеченного конуса

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, с основаниями 2R и 2r. То есть основания трапеции равны 2 и 14 дм соответственно. Так как диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме ее оснований. Тогда:

Образующая усеченного конуса, являющаяся боковой стороной трапеции, высота, опушенная на большое основание и разность радиусов основания усеченного конуса, образуют прямоугольный треугольник.По теореме Пифагора найдем образующую усеченного конуса:

Формула площади полной поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:

Подставив значения из условия задачи и найденные значения, имеем: При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.
Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x .

Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .
Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.

Из подобия этих конусов получаем:
Выразим x:

Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
Применив формулу разницы кубов, имеем:

Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

Пример расчета объема усеченного конусаРадиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.

Тогда:

Тогда высота усеченного конуса будет равна:

Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:

Page 3

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.

Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:

Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

где S – основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле: Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней

Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
V≥

Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен:

Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен

Два полученных неравенства равны при любом n.

Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥
Из второго неравенства

Отсюда следует, что

Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

Пример расчета объема конусаНайти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

Отсюда:

Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.Имеем:

Page 4

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Page 5

У большинства детей младшего школьного возраста хорошо развита механическая память, которая задействуется при выучивании правил.

Но для отдельных детей, а особенно творческих личностей, зубрежка является невыносимой.

Родители, думающие, что их чадо не способно освоить изучение таблицы умножения и поэтому в дальнейшем будет отставать в математике, заблуждаются. На самом деле к нему нужен совершенно другой, особый подход.

Читать далее

Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.
Читать далее

Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100
Читать далее

Таблица факториалов от 1 до 40
Читать далее

Page 6

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Боковая поверхность конуса обычного и усеченного. Формулы и пример решения задачи

Построить усеченный конус и определить площадь поверхности. Конус

При рассмотрении фигур в пространстве часто возникают проблемы определения их площади поверхности. Одной из таких фигур является конус. Рассмотрим в статье, что представляет собой боковая поверхность конуса с круглым основанием, а также усеченного конуса.

Конус с круглым основанием

Прежде чем переходить к рассмотрению боковой поверхности конуса, покажем, что это за фигура и как ее получить геометрическими методами.

Возьмем прямоугольный треугольник ABC, у которого AB и AC являются катетами. Поставим этот треугольник на катет AC и будем его вращать вокруг катета AB. В результате стороны AC и BC опишут две поверхности фигуры, которая показана ниже.

Полученная вращением фигура называется круглым прямым конусом. Круглый он потому, что его основание является кругом, а прямой потому, что проведенный из вершины фигуры (точка B) перпендикуляр пересекает круг в его центре. Длина этого перпендикуляра называется высотой. Очевидно, что она равна катету AB. Высоту принято обозначать буквой h.

Помимо высоты, рассматриваемый конус описывается еще двумя линейными характеристиками:

  • образующая, или генератриса (гипотенуза BC);
  • радиус основания (катет AC).

Радиус обозначим буквой r, а генератрису – g. Тогда, принимая во внимание теорему Пифагора, можно записать важное для рассматриваемой фигуры равенство:

g2 = h2 + r2

Коническая поверхность

Совокупность всех генератрис образует коническую или боковую поверхность конуса. По внешнему виду ее трудно сказать, какой плоской фигуре она соответствует. Последнее важно знать при определении площади конической поверхности.

Для решения этой проблемы используют метод развертки. Он заключается в следующем: вдоль произвольной генератрисы мысленно разрезают поверхность, а затем разворачивают ее на плоскости.

При таком способе получения развертки образуется приведенная ниже плоская фигура.

Как можно догадаться, круг соответствует основанию, а вот круговой сектор – это коническая поверхность, площадь которой нас интересует. Сектор ограничен двумя генератрисами и дугой. Длина последней точно равна периметру (длине) окружности основания.

Эти характеристики однозначно определяют все свойства кругового сектора. Мы не будем приводить промежуточные математические выкладки, а запишем сразу конечную формулу, пользуясь которой можно вычислить площадь боковой поверхности конуса.

Формула имеет вид:

Sb = pi*g*r

Площадь конической поверхности Sb равна произведению двух параметров и числа Пи.

Усеченный конус и его поверхность

Если взять обычный конус и параллельной плоскостью отсечь у него верхушку, то оставшаяся фигура будет представлять усеченный конус. Его боковая поверхность ограничена двумя круглыми основаниями. Обозначим их радиусы как R и r. Высоту фигуры обозначим h, а генератрису – g. Ниже показана развертка из бумаги для этой фигуры.

Видно, что боковая поверхность уже не является круговым сектором, она меньше по площади, поскольку от нее отрезали центральную часть. Развертка ограничена четырьмя линиями, две из них – это прямые отрезки-генератрисы, две другие – это дуги с длинами соответствующих окружностей оснований конуса усеченного.

Боковая поверхность Sb рассчитывается так:

Sb = pi*g*(r + R)

Генератриса, радиусы и высота связаны между собой следующим равенством:

g2 = h2 + (R – r)2

Задача с равенством площадей фигур

Дан конус, у которого высота равна 20 см, а радиус основания составляет 8 см. Необходимо найти высоту усеченного конуса, боковая поверхность которого будет иметь ту же площадь, что у данного конуса. Усеченная фигура построена на том же основании, а радиус верхнего основания равен 3 см.

В первую очередь запишем условие равенства площадей конуса и усеченной фигуры. Имеем:

Sb1 = Sb2 =>

pi*g1*R = pi*g2*(r + R)

Теперь запишем выражения для генератрис каждой фигуры:

g1 = √(R2 + h12);

g2 = √((R-r)2 + h22)

Подставим g1 и g2 в формулу для равенства площадей и возведем в квадрат левую и правую части, получим:

R2*(R2 + h12) = ((R-r)2 + h22)*(r + R)2

Откуда получаем выражение для h2:

h2 = √(R2*(R2 + h12)/(r + R)2 – (R – r)2)

Не будем упрощать это равенство, а просто подставим известные из условия данные:

h2 = √(82*(82 + 20 2)/(3 + 8)2 – (8 – 3)2) ≈ 14,85 см

Таким образом, чтобы были равны площади боковых поверхностей фигур, усеченный конус должен иметь параметры: R = 8 см, r = 3 см, h2 ≈ 14,85 см.

Построить усеченный конус и определить площадь поверхности. Конус

Построить усеченный конус и определить площадь поверхности. Конус

– это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии.Основаниями конуса являются геометрические круги.

Усеченный конус может быть получен в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, которая является ее высотой. Границей конуса является круг радиуса R, круг радиуса r и боковая поверхность конуса. Боковую поверхность конуса описывает боковая сторона трапеции во время ее вращения.

Площади боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и средний радиус

Средний радиус усеченного конуса равен половине суммы радиусов его оснований:

Тогда формула площади боковой поверхности усеченного конуса может быть представлена следующим образом:
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на его образующую.

Смотреть что такое “Усечённый конус” в других словарях:

    Геометрическое тело, отсечённое от конуса плоскостью, параллельной основанию (рис.). Объём усечённого конуса равен. * * * УСЕЧЕННЫЙ КОНУС УСЕЧЕННЫЙ КОНУС, геометрическое тело, отсеченное от конуса плоскостью, параллельной основанию. Объем… … Энциклопедический словарьусечённый конус – — Тематики нефтегазовая промышленность EN truncated cone … Справочник технического переводчикаУСЕЧЁННЫЙ, усечённая, усечённое; усечён, усечена, усечено. 1. прич. страд. прош. вр. от усечь (книжн.). 2. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию (о конусе, пирамиде; мат.). Усечённый конус. Усеченная пирамида … Толковый словарь Ушаковаусечённый – ая, ое.; матем. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию. Усечённый конус. У ая пирамида … Словарь многих выраженийУСЕЧЁННЫЙ, ая, ое. В математике: такой, у к рого вершинная часть отделена, отсечена плоскостью, параллельной основанию. У. конус. Усечённая пирамида. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь ОжеговаАя, ое. 1. прич. страд. прош. от усечь. 2. в знач. прил. мат. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию. Усеченный конус. Усеченная пирамида. 3. в знач. прил. грамм., лит. С усечением (во 2 знач.), представляющий … Малый академический словарьПрямой круговой конус. Прямой и … Википедия- (лат. conus, от греч. konos) коническая поверхность множество прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки нек рой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства. Простейший К. круглый, или прямой круговой, направляющей к … Большой энциклопедический политехнический словарь- (лат. conus, от греч. konos) (математика), 1) К., или коническая поверхность, геометрическое место прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства.… … Большая советская энциклопедияОкружающий нас мир динамичен и разнообразен, и далеко не всякий объект можно просто обмерить линейкой. Для подобного переноса используются специальные техники, как то триангуляция. Потребность в составлении сложных развёрток, как правило,… … Википедия

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей, прямые – образующими, точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием. Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотойконуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса.

Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса.

Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями.

Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими. Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса.

Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1.Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A, коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение.Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r– радиус его основания, H –высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: .

Получим уравнение с двумя неизвестными rи l (образующая конуса).

В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R, значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение.Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем ACO 1 B. В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC=BC=3 см.

Ответ:

Пример 4.Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC), образующие конусов (BC и AC) и высоту цилиндра (AB).

Неизвестной является только CO. это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC. Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC, с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

Конусы. Усеченные конусы. Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

Построить усеченный конус и определить площадь поверхности. Конус

Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия)Конусы

      Рассмотрим произвольную плоскость α, точку   S,   не лежащую на плоскости α,   и перпендикуляр   SO,   опущенный из точки   S   на плоскость   α   (точка   O   – основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке   O,   лежащий на плоскости   α.

      Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку   S   с точками указанного круга с центром в точке   O,   лежащего на плоскости   α   (рис. 1).

Рис.1

      Определение 2.

Точку   S   называют вершиной конуса.
Отрезок   SO   называют осью конуса.
Расстояние от точки   S   до плоскостиРасстояние от точки   S   до плоскости   α   (длину отрезка   SO)   называют высотой конуса.
Круг с центром в точке   O,   лежащий на плоскости   α,   называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость   α   называют плоскостью основания конуса.
Отрезки, соединяющие точку   S   с точками окружности называют образующими конуса.
Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность).
Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности.

      Замечание 1. Отрезок   SO   часто называют высотой конуса.

      Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой   h   и радиусом основания   r   длина образующих равна

Усеченные конусы

      Рассмотрим конус с вершиной   S,   осью   SO,   радиусом основания   r   и высотой   h.   Плоскость   β,   параллельная параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии   h1   от вершины расстоянии   h1   от вершины   S,   пересекает конус по кругу радиуса   r1   с центром в точке   O1   (рис. 2).

Рис.2

      Из подобия прямоугольных треугольников   SOA   и   SO1A1   можно выразить радиус   r1   через известные величины   r, h   и   h1:

      Таким образом, плоскость   β   делит конус на две части: конус с осью   SO1   и радиусом основания   r1,   а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).

Рис.3

      Усеченный конус ограничен двумя основаниями: кругом с центром в точке   O   радиуса   r   на плоскости   α   и кругом с центром в точке   O1 радиуса   r1   на плоскости   β,   а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями   α   и   β.   Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями   α   и   β,   называют образующей усеченного конуса. Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок   AA1.

      Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна   h – h1.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

      Введем следующие обозначения

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.

ФигураРисунокФормулы для объема, площади боковой и полной поверхности
КонусSосн = πr2,Sбок= πrl,Sполн = πr2 + πrl,гдеr – радиус основания конуса,l  – длина образующей конуса,h – высота конуса.
Усеченный конусSбок= π (r + r1)l ,гдеh – высота усеченного конуса,r – радиус нижнего основания усеченного конуса,r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса,l – длина образующей усеченного конуса.
Конус
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:Sосн = πr2,Sбок= πrl,Sполн = πr2 + πrl,гдеr – радиус основания конуса,l – длина образующей конуса,h – высота конуса.
Усеченный конус
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:,Sбок= π (r + r1)l ,гдеh – высота усеченного конуса,r – радиус нижнего основания усеченного конуса,r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса,l – длина образующей усеченного конуса.

      Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса

может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса

может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Коническая поверхность

Совокупность всех генератрис образует коническую или боковую поверхность конуса. По внешнему виду ее трудно сказать, какой плоской фигуре она соответствует. Последнее важно знать при определении площади конической поверхности.

Для решения этой проблемы используют метод развертки. Он заключается в следующем: вдоль произвольной генератрисы мысленно разрезают поверхность, а затем разворачивают ее на плоскости.

При таком способе получения развертки образуется приведенная ниже плоская фигура.

Как можно догадаться, круг соответствует основанию, а вот круговой сектор – это коническая поверхность, площадь которой нас интересует. Сектор ограничен двумя генератрисами и дугой. Длина последней точно равна периметру (длине) окружности основания.

Эти характеристики однозначно определяют все свойства кругового сектора. Мы не будем приводить промежуточные математические выкладки, а запишем сразу конечную формулу, пользуясь которой можно вычислить площадь боковой поверхности конуса.

Формула имеет вид:

Sb = pi*g*r

Площадь конической поверхности Sb равна произведению двух параметров и числа Пи.

Задача с равенством площадей фигур

Дан конус, у которого высота равна 20 см, а радиус основания составляет 8 см. Необходимо найти высоту усеченного конуса, боковая поверхность которого будет иметь ту же площадь, что у данного конуса. Усеченная фигура построена на том же основании, а радиус верхнего основания равен 3 см.

В первую очередь запишем условие равенства площадей конуса и усеченной фигуры. Имеем:

Sb1 = Sb2 =>

pi*g1*R = pi*g2*(r + R)

Теперь запишем выражения для генератрис каждой фигуры:

g1 = √(R2 + h12);

g2 = √((R-r)2 + h22)

Подставим g1 и g2 в формулу для равенства площадей и возведем в квадрат левую и правую части, получим:

R2*(R2 + h12) = ((R-r)2 + h22)*(r + R)2

Откуда получаем выражение для h2:

h2 = √(R2*(R2 + h12)/(r + R)2 – (R – r)2)

Не будем упрощать это равенство, а просто подставим известные из условия данные:

h2 = √(82*(82 + 20 2)/(3 + 8)2 – (8 – 3)2) ≈ 14,85 см

Таким образом, чтобы были равны площади боковых поверхностей фигур, усеченный конус должен иметь параметры: R = 8 см, r = 3 см, h2 ≈ 14,85 см.
Источник: .ru

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.