График обратной пропорциональности. Учебно-методический материал по алгебре (8 класс) на тему: Функция обратной пропорциональности и её график

Алгебра, 8 класс

График обратной пропорциональности. Учебно-методический материал по алгебре (8 класс) на тему: Функция обратной пропорциональности и её график

Цели занятия:На этом занятии вы познакомитесь со свойствами и графиком функции  и с тем, как зависят свойства этой функции и форма ее графика от коэффициента k.

Прямая и обратная пропорциональности

Чтобы вспомнить понятие прямой и обратной пропорциональности, поработайте с материалами видеоурока «Прямая и обратная пропорциональность».

Нажмите на значок

Приведем примеры.

Пример 1.

Зависимость  является прямой пропорциональностью, так как изменение значения абсолютной величины y прямо пропорционально изменению значения переменной x, так как во сколько раз изменяется значение переменной х, во столько же раз изменяется модуль значения переменной у:

Пусть , , тогда .

Пример 2.

Зависимость  не является прямой пропорциональностью. Покажем это.

Пусть , , тогда .

Пример 3.

Зависимость  является примером обратной пропорциональности, так как изменение значения абсолютной величины y обратно пропорционально изменению значения переменной x:

Пусть , , тогда .

Для того чтобы закрепить умение распознавать прямую и обратную пропорциональность, поработайте с материалами видеоурока «Распознавание прямой и обратной пропорциональности».

Нажмите на значок

Рассмотрите некоторые характеристики прямой и обратной пропорциональности, поработав с материалами видеоурока «Прямая и обратная пропорциональности».

Нажмите на значок

Функция , ее свойства и график

Для того чтобы рассмотреть свойства и зависимость формы графика функции  от коэффициента k, поработайте с материалами видеоурока «Функция , ее свойства и график».

Нажмите на значок

Итак, графики функции  при положительных значениях k изображены на рисунке 1.

Рис. 1. Графики функции  при положительных значениях k:
k = 0,5 (красный), k = 1,5 (синий), k = 2 (сиреневый), k = 3 (зеленый)

Перечислим свойства функции  при положительных значениях k.

  1. Областью определения являются все числа, за исключением числа 0, то есть . Таким образом, область определения функции состоит из двух промежутков: .
  2. Множеством значения также является множество всех чисел за исключением 0, то есть множество чисел .
  3. Эта функция не имеет нулей (корней).
  4. При x >0 значения функции y >0, при x < 0 значения функции y < 0. То есть значения аргумента и функции имеют одинаковые знаки.
  5. Функция убывает на каждом из двух промежутков своей области определения: на промежутке  и на промежутке .
  6. Функция принимает противоположные значения при противоположных значениях аргумента, то есть y(–x) = –y(x). График функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).
  7. График функции расположен в первой и третьей координатной четвертях.
  8. График функции симметричен относительно прямой у = х.
  9. График функции имеет две асимптоты: горизонтальную у = 0 и вертикальную х = 0.

Графики функции  при отрицательных значениях k изображены на рисунке 2.

Рис. 2. Графики функции  при отрицательных значениях k:
k = –0,5 (красный), k = –1,5 (сиреневый), k = –2 (синий), k = –3 (зеленый)

Перечислим свойства функции  при отрицательных значениях k.

  1. Областью определения являются все числа, за исключением числа 0, то есть . Таким образом, область определения функции состоит из двух промежутков: .
  2. Множеством значения также является множество всех чисел за исключением 0, то есть множество чисел .
  3. Эта функция не имеет нулей (корней).
  4. При x >0 значения функции y < 0, при x < 0 значения функции y >0. То есть значения аргумента и функции имеют противоположные знаки.
  5. Функция возрастает на каждом из двух промежутков своей области определения: на промежутке  и на промежутке .
  6. Функция принимает противоположные значения при противоположных значениях аргумента, то есть y(–x) = –y(x). График функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).
  7. График функции расположен во второй и четвертой координатной четвертях.
  8. График функции симметричен относительно прямой у = –х.
  9. График функции имеет две асимптоты: горизонтальную у = 0 и вертикальную х = 0.

Теперь поработайте с материалами видеоурока, решив задачи о взаимном расположении графиков функции  при различных значениях k. «Функция  и ее свойства. Продолжение».

Нажмите на значок

Рассмотрим еще один пример решения задачи на нахождение множества значения функции .

Пример 4.

Найдите множество значений функции  на отрезке [–4; –0,5].

Решение:

На рисунке 3 изображен график функции  на отрезке [–4; –0,5].

Рис. 3. График функции  на отрезке [–4; –0,5].

Синим на рисунке обозначен нужный нам фрагмент графика.

Как мы видим, функция на заданном отрезке возрастает и принимает свое наименьшее значение на левом конце промежутка при х = 4: .

Свое наибольшее значение функция принимает правом конце промежутка при х = 0,5: .

Также видно, что функция принимает все значения из промежутка [0,5; 4].

Ответ: [0,5; 4].

Теперь поработайте с материалами информационного электронного образовательного ресурса «Функция обратной пропорциональности и ее график», затем потренируйтесь, выполняя задания практического электронного образовательного ресурса «Функция обратной пропорциональности и ее график», и проверьте себя, выполнив задания контрольного электронного образовательного ресурса «Функция обратной пропорциональности и ее график».

Решение задач

Теперь рассмотрим решение задач с использование свойств и графика функции  при различных значениях k.

Поработайте с материалами видеоурока, рассмотрев решение некоторых задач с использованием графиков функции  при различных значениях k. «Функция  и ее свойства. Продолжение».

Нажмите на значок

Рассмотрим еще один пример использования графика функции  для решения задач.

Пример 5.

Решите неравенство: .

Решение:

Преобразуем данное неравенство так, чтобы в левой части оказалась функция вида : .

Теперь построим графики левой и правой частей неравенства (рисунок 4):

Рис. 4. Графики функции  и . Из рисунка видно, что графики этих функций пересекаются в двух точках: (1,5; –1) и (0,5; –3).

Проверим, что это действительно общие точки графиков функций:

При х = 1,5 значение функции  равно –1 и значение функции также равно –1.
При х = 0,5 значение функции  равно –3 и значение функции  также равно –3.

Значит, эти две точки на самом деле являются точками пересечения данных графиков.

Напомним, что неравенство  соответствует ситуации, когда график функции  расположен выше графика функции .

На графике мы видим два промежутка, на которых график функции  расположен выше графика функции .

Это все отрицательные значения переменной х и промежуток (0,5; 1,5).

Ответ: .

Закончите изучение материалов видеоурока, рассмотрев решение более сложных задач «Функция  и ее свойства. Продолжение».

Нажмите на значок

Потренируйтесь в решении подобных примеров, выполняя задания электронного образовательного ресурса «Графическое решение уравнения, содержащего функцию обратной пропорциональности».

Рассмотрите примеры задач на определение коэффициента k функции , поработав с материалами видеоурока «Функция  и ее свойства. Продолжение».

Нажмите на значок

Рассмотрим еще один подобный пример.

Пример 6.

Определите значение коэффициента k, если график функции  проходит через точку (–32; 4,5).

Решение:

Подставим координаты точки в уравнение функции: .

Отсюда .

Ответ: k = –144.

Пример построения кусочно заданной функции, включающей в себя функцию , рассмотрите, поработав с материалами видеоурока «Функция  и ее свойства. Продолжение».

Нажмите на значок

Закончите изучение материалов урока, рассмотрев решение задачи с параметром в материалах видеоурока «Функция  и ее свойства. Продолжение».

Нажмите на значок

Последнее изменение: Friday, 9 December 2016, 01:15

Преобразование графиков функций. урок. Алгебра 8 Класс

График обратной пропорциональности. Учебно-методический материал по алгебре (8 класс) на тему: Функция обратной пропорциональности и её график

Перед вами набор данных (см. рис. 1).

Рис. 1. Табличный способ представления информации

Попробуйте по нему понять демографическую ситуацию – растет население, падает, как сильно, есть ли какие-то закономерности.

А вот та же информация, представленная с помощью набора точек в системе координат (год – численность населения) (см. рис. 2). Сразу можно сделать определенные выводы, понять динамику и т. д.

Рис. 2. Графический способ представления информации

Графический способ представления информации часто является одним из наиболее удобных для ее анализа. Поэтому для исследования функций нам нужно научиться строить их графики (в тех случаях, когда это можно сделать).

Пример функции, график которой изобразить не получится

Оказывается, есть функции, график которых изобразить в привычном нам смысле не получится. Рассмотрим пример такой функции – функцию Дирихле (см. рис. 3). Эта функция определяется следующим образом:

Рис. 3. Функция Дирихле

То есть эта функция при всех рациональных значениях переменной принимает значение , а во всех иррациональных – .

Поскольку между любыми двумя рациональными числами бесконечно много иррациональных и наоборот, то такая функция будет разрывна в каждой точке.

Поэтому нарисовать прямые или отрезки в качестве ее графика не получится. Таким образом, график функции Дирихле нам изобразить не удастся.

Но для функций, которые мы будем изучать в школе, такой ситуации не возникнет.

Графики базовых функций, которые мы изучили (линейной функции, обратной пропорциональности, квадратичной функции, квадратного корня) (см. рис. 4) и которые еще будем изучать, – это «кирпичики», которые мы будем использовать для того, чтобы строить графики более сложных функций.

Рис. 4. Графики базовых функций

Кроме того, мы можем использовать графики известных нам функций для анализа проведенного эксперимента или исследования. Если нанести на график точки, соответствующие результатам исследования, можно по виду полученной кривой оценить, какой зависимости она наиболее соответствует – линейной, квадратичной, обратно пропорциональной и т. д. (см. рис. 5).

Рис. 5. Приближение графиков функций к базовым

Например, можно провести опрос: сколько готовы платить родители за онлайн-обучение своего ребенка? Поставим по одной оси цену, по другой – количество согласившихся на занятия по такой цене.

Отметив точки и соединив их, получим следующую кривую, которая очень похожа на график обратной пропорциональности (см. рис. 6). Что вполне логично: чем больше цена, тем меньше людей, которые готовы покупать продукт.

В экономике эта кривая носит название «кривая спроса».

Рис. 6. Кривая спроса

График функции определяется не только типом зависимости величин, но и системой координат, в которой он построен. А она может быть разной.

Мы будем рассматривать графики функций в привычной нам декартовой прямоугольной системе координат (см. рис. 7). Но и она будет зависеть от расположения своего начала – точки отсчета.

Рис. 7. Декартова прямоугольная система координат

Виды координат

Системы координат могут отличаться не только точкой отсчета, но и способом выбора самих координат. К примеру, можно использовать не прямоугольную систему координат, а такую, в которой угол между осями отличен от  (см. рис. 8). Естественно, график функции в ней будет иметь другой вид.

Рис. 8. Прямоугольная и косоугольная системы координат

Можно использовать и принципиально отличающиеся системы координат, например такую, в которой точка задается расстоянием до начала отсчета и углом отклонения от оси. Такая система координат называется полярной. Но мы будем работать только в декартовой (прямоугольной) системе координат.

Вспомните курс физики: система отсчета всегда связана с некоторым телом. Возьмем разные тела – получим разные системы отсчета. Виды зависимости в них будут одинаковы, а вот системы координат, а иногда и графики функций – различны.

Рассмотрим график параболы , проходящий через точку  в другой системе отсчета, связанной с телом, которое расположено в точке  (см. рис. 9).

Рис. 9. График параболы , проходящий через точку  в другой системе отсчета

Поскольку точки отсчета у нас неподвижны, то тип зависимости не может измениться – она как была квадратичной, так и должна такой остаться. Но как именно она будет выглядеть в новых координатах?

Точка  в старой системе имела координаты . Точка  – координаты  и т. д. Можно сделать вывод: точка  в «старой» системе координат имела бы координаты .

То есть:

Значит, зависимость  в новой системе координат будет иметь вид:

Или:

Действительно, если теперь убрать старую систему координат и построить график функции , он будет выглядеть именно так: парабола, которую сдвинули на  единицы влево и на  – вниз (см. рис. 10).

Рис. 10. График функции

Но рассмотренный нами алгоритм можно применять и в обратную сторону – использовать его, чтобы строить график сложной функции, преобразовывая график соответствующей ей базовой функции.

Действительно, используя обратные действия, несложно построить график функции , используя график базовой функции . Для этого параболу нужно перенести на  единицы влево и на  единицы вниз (см. рис. 11).

Рис. 11. График функции , полученный при помощи преобразований графика

Обратите внимание: мы перенесли график влево и вниз, а начало системы координат переносили вправо и вверх. То есть эти действия эквивалентны с точностью до направления. Именно построением графиков сложных функций с использованием графиков базовых мы сегодня и займемся.

Что можно сделать с графиком, чтобы не изменился характер зависимости? Можно его сдвинуть, изменить размер, зеркально отразить, повернуть. Перемещение графика всегда можно представить как комбинацию перемещений вдоль оси  и оси . Изменение размера и зеркальное отображение также возможно относительно каждой из осей.

Про поворот мы говорить не будем, так как формулы для перехода к новой функции в случае поворота будут довольно сложными и выходят за рамки обычной школьной программы. Теперь наша задача состоит в том, чтобы изучить, как изменяются координаты точек графика при каждом из описанных преобразований и как это влияет на аналитический вид функции.

Пусть задана некоторая функция , аналитический вид и ее график (см. рис. 12).

Рис. 12. График функции

Вспомним, что запись  означает, что каждому аргументу  ставится в соответствие значение функции  по некоторому правилу. Будем изменять график функции и смотреть, как меняется ее аналитический вид. Сначала рассмотрим преобразования вдоль оси .

1. Сдвинем график функции вверх на некоторое расстояние . При этом для каждого аргумента  значение функции увеличится на: было , станет . Получим аналитический вид функции:  (см. рис. 13):

Рис. 13. График функции

Аналогично при сдвиге вниз все значения функции уменьшатся на и мы получим функцию  (см. рис. 14):

Рис. 14. График функции

2. Зафиксируем на графике нули функции, а остальные части растянем вдоль оси в  раз. При этом для каждого аргумента  значение функции увеличится враз: было , станет . Функция примет вид  (см. рис. 15):

Рис. 15. График функции

Если же мы сожмем в  раз, то все значения функции уменьшатся в раз. Получим функцию  (см. рис. 16):

Рис. 16. График функции

3. Отразим график функции зеркально относительно оси . При этом для каждого аргумента все значения функции изменятся на противоположные: было , станет . Функция примет вид  (см. рис. 17).

Рис. 17. График функции

Обратите внимание: если мы хотим получить следующий график функции:  то нужно выполнить комбинацию двух действий – отразить график относительно оси абсцисс, затем растянуть или сжать функцию вдоль оси ординат (см. рис. 18). Или выполнить в обратном порядке – разницы нет: .

Рис. 18. График функции

Теперь перейдем к аналогичным преобразованиям относительно оси .

1. Сдвинем график функции вправо на некоторое расстояние . Заметим, что теперь значение функции  для аргумента  будет такое же, как было для аргумента  до сдвига. Получим функцию  (см. рис. 19).

Рис. 19. График функции

Аналогично при сдвиге влево получим функцию  (см. рис. 20):

Рис. 20. График функции

2. Зафиксируем значения функции при , остальной график функции растянем вдоль оси  в  раз. Снова отметим, как изменился аргумент: значение функции  при аргументе  теперь такое же, как было при аргументе . Вид полученной функции:  (см. рис. 21):

Рис. 21. График функции

Если же мы сожмем функцию вдоль оси  в  раз, то получим функцию  (см. рис. 22):

Рис. 22. График функции

3. Отразим функцию зеркально относительно оси . Значение функции  при аргументе  теперь такое же, как было при аргументе при противоположном аргументе, . Получим функцию  (см. рис. 23):

Рис. 23. График функции

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.